Question
Merci pour ceux qui pourront m'aider
Partie II
Une entreprise produit 2000 pièces la 1ère année et la production augmente de 4% par an.
1) Si Un est la production de la n-ième année, avec U1 = 2000 a) Calculer U2 ; U3 ; U4. b) Exprimer Un+1 en fonction du Un. En déduire que la suite (Un) est une suite géométrique. c) Exprimer Un en fonction de n. Calculer U10. d) Démontrer que cette suite est croissante et quelle est sa limite quand n tend vers l’infini.
2) Déterminer la production totale (cumulée) sur les quatre premières années.
3) Exprimer la production totale Pn au bout de n années, en fonction de n.
4) Déterminer à l’aide de la calculette l’année n à partir de la quelle la production totale dépassera 40 000 pièces.
Answer (500)
1)
a)
U2 = U1 + 4% x U1 = 1,04 x U1 = 1,04 x 2000 = 2080
U3 = U2 + 4% x U2 = 1,04 x U2 = 1,04 x 2080 = 2163,20
U4 = ….. = 1,04 x 2163,20 = 2249,728
Comme ce sont des « pièces », on doit peut-être arrondir à l’unité : U3 = 2163 et U4 = 2250
b) Un+1 = Un + 4% x Un = 1,04 x Un
Donc (Un) est une suite géométrique de premier terme U1 = 2000 et de raison q = 1,04
c) Par définition d’une suite
géométrique : Un = U1 x qⁿ
Soit Un = 2000 x (1,04)ⁿ
U10 = 2000 x (1,04)¹⁰ = 2960,48 (soit 2960 pièces)
d) 1,04 > 1 et U1 > 0 ⇒ (Un) est croissante
lim Un quand n → +∞ = +∞
2) U1 + U2 + U3 + U4
= 2000 + 2080 + 2163,20 + 2249,72
= 8492,928
3)
Pn = U1 + U2 + ... + Un
= U1 + U1x1,04 + U1x1,04²+ .... + U1x1,04ⁿ
= U1(1,04⁰ + 1,04¹ + ... + 1,04ⁿ)
= U1 x (1 - 1,04ⁿ)/(1 - 1,04)
= U1 x (1,04ⁿ - 1)/0,04
= 50000 x (1,04ⁿ - 1)
4)
Pn > 40000
on trouve n = 15 :
P14 = 50000 x (1,04¹⁴ - 1) = 36583
P15 = 50000 x (1,04¹⁵ - 1) = 40047