Question
Bonjour,
Je faisais des exercices d'entrainement de Maths pour me préparer à un contrôle future. Je suis alors tombé sur un exercice qui me bloque c'est pourquoi je demande un peu d'aide.
Et Merci d'avance pour toute aide fournis.
L'exercice est le suivant:
-On considère une urne contenant n boules rouges et 3 boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire successivement et avec remise deux boules dans l'urne.
Trouver un valeur de n pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleur différentes est égale à 4/9.
Mon constat est que N=n+3 donc que la probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes serait de 3/n+3*n/3+n et donc pour que ceci soit égal à 4/9. On a alors une équation à une inconnue.
Le problème est que un fois le tout développé je ne trouve pas un "n" plausible. Ce dernier ne me permet pas d'obtenir 1 une fois l'ensemble des probabilités additionné.
Donc voilà j'espère avoir été assez claire et merci beaucoup à toutes les aides même tentative.
Je faisais des exercices d'entrainement de Maths pour me préparer à un contrôle future. Je suis alors tombé sur un exercice qui me bloque c'est pourquoi je demande un peu d'aide.
Et Merci d'avance pour toute aide fournis.
L'exercice est le suivant:
-On considère une urne contenant n boules rouges et 3 boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher.
On tire successivement et avec remise deux boules dans l'urne.
Trouver un valeur de n pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleur différentes est égale à 4/9.
Mon constat est que N=n+3 donc que la probabilité d'avoir deux boules de couleurs différentes serait de 3/n+3*n/3+n et donc pour que ceci soit égal à 4/9. On a alors une équation à une inconnue.
Le problème est que un fois le tout développé je ne trouve pas un "n" plausible. Ce dernier ne me permet pas d'obtenir 1 une fois l'ensemble des probabilités additionné.
Donc voilà j'espère avoir été assez claire et merci beaucoup à toutes les aides même tentative.
Asked by: USER3665
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Bonjour KedzeyxLeGénie
Voir arbre pondéré en pièce jointe.
Au total, il y a (n+3) boules dont n boules rouges et 3 boules noires.
Lors de chaque tirage, cette situation reste inchangée puisqu'il y a remise de la boule après le premier tirage.
Déterminons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
[tex]p(RN\ ou\ NR)=p(RN)+p(NR)=\dfrac{n}{n+3}\times\dfrac{3}{n+3}+\dfrac{n}{n+3}\times\dfrac{3}{n+3}\\\\\\=\dfrac{3n}{(n+3)^2}+\dfrac{3n}{(n+3)^2}=\dfrac{6n}{(n+3)^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{p(RN\ ou\ NR)=\dfrac{6n}{(n+3)^2}}[/tex]
Or cette probabilité doit être égale à 4/9.
Nous devons donc résoudre l'équation :
[tex]\dfrac{6n}{(n+3)^2}=\dfrac{4}{9}\\\\\\\dfrac{3n}{(n+3)^2}=\dfrac{2}{9}\\\\\\2\times(n+3)^2=9\times3n\\\\2(n^2+6n+9)=27n\\\\2n^2+12n+18=27n\\\\2n^2+12n+18-27n=0\\\\2n^2-15n+18=0\\\\\Delta=(-15)^2-4\times2\times18=225-144=81\ \textgreater \ 0\\\\n_1=\dfrac{15-\sqrt{81}}{2\times2}=\dfrac{15-9}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\\\\n_2=\dfrac{15+\sqrt{81}}{2\times2}=\dfrac{15+9}{4}=\dfrac{24}{4}=6[/tex]
Or n est un nombre entier.
D'où la valeur 3/2 ne convient pas.
Par conséquent, n = 6.
Il faudra 6 boules rouges pour que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à 4/9.
Voir arbre pondéré en pièce jointe.
Au total, il y a (n+3) boules dont n boules rouges et 3 boules noires.
Lors de chaque tirage, cette situation reste inchangée puisqu'il y a remise de la boule après le premier tirage.
Déterminons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
[tex]p(RN\ ou\ NR)=p(RN)+p(NR)=\dfrac{n}{n+3}\times\dfrac{3}{n+3}+\dfrac{n}{n+3}\times\dfrac{3}{n+3}\\\\\\=\dfrac{3n}{(n+3)^2}+\dfrac{3n}{(n+3)^2}=\dfrac{6n}{(n+3)^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{p(RN\ ou\ NR)=\dfrac{6n}{(n+3)^2}}[/tex]
Or cette probabilité doit être égale à 4/9.
Nous devons donc résoudre l'équation :
[tex]\dfrac{6n}{(n+3)^2}=\dfrac{4}{9}\\\\\\\dfrac{3n}{(n+3)^2}=\dfrac{2}{9}\\\\\\2\times(n+3)^2=9\times3n\\\\2(n^2+6n+9)=27n\\\\2n^2+12n+18=27n\\\\2n^2+12n+18-27n=0\\\\2n^2-15n+18=0\\\\\Delta=(-15)^2-4\times2\times18=225-144=81\ \textgreater \ 0\\\\n_1=\dfrac{15-\sqrt{81}}{2\times2}=\dfrac{15-9}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\\\\n_2=\dfrac{15+\sqrt{81}}{2\times2}=\dfrac{15+9}{4}=\dfrac{24}{4}=6[/tex]
Or n est un nombre entier.
D'où la valeur 3/2 ne convient pas.
Par conséquent, n = 6.
Il faudra 6 boules rouges pour que la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes soit égale à 4/9.