Bonjour voici mon problème et je n'y arrive pas !


On considère un demi-cercle de diamètre [AB]. Soit M et N deux points distincts de ce demi-cercle. On considère I le point d'intersection des droites (AM) et (BN) et J le point d'intersection des droites (AN) et (BM).


1. Justifier que les triangles AMB et ANB sont rectangles.

2. En déduire que la droite (IJ) est perpendiculaire a la droite (AB).


Merci de votre aide

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

rappel:

lorsque'un triangle a comme sommets l'extrémité d'un diamétre et 1 point appartenant au cercle alors

il est rectangle

1) les triangles

AMB et ANB répondant à ces critères sont des triangles rectangles

2)

a)

1)M est plus prés de A que de B

2)N est plus prés de B que de A

3) considérons le triangle AIB

b)

BM  perpendiculaire àAM

donc BM  perpendiculaire àIA

donc BM  est une hauteur issue de B  sur AI

c)

AN  perpendiculaireàBN

donc  AN perpendiculaire àIB

donc  AN est une hauteur  issue de A sur IB

d)

les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un seul point appelé orthocentre

e)

AN et BM  se coupent en J

J est donc l'orthocentre

J appartient à la hauteur issue de I sur AB

d'où

IJ  perpendiculaire à AB

b)

si Mest plus prés de B que de A

et

si N est plus prés de A que de B

au lieu du triangle AIB  vous travaillerez sur le triangle AJB

1) AM  perpendiculaire àBM

donc AM  perpendiculaire àJB

AM est une hauteur issue de A sur JB

2) BN perpendiculaire à AN

donc

BN  perpendiculaire à AJ

donc BN est une hauteur issue de B sur AJ

3) principe de l'orthocentre

la hauteur issue de J sur AB  passe par I

IJ perpendiculaire à AB